هل قام فريق من علماء الرياضيات بخطوة كبيرة نحو الإجابة على سؤال عمره 160 عامًا ، مليون دولار في الرياضيات؟
يمكن. قام الطاقم بالفعل بحل عدد من الأسئلة الأخرى الأصغر في مجال يسمى نظرية الأعداد. وبذلك ، أعادوا فتح طريق قديم قد يؤدي في النهاية إلى إجابة على السؤال القديم: هل فرضية ريمان صحيحة؟
فرضية ريمان هي تخمين رياضي أساسي له آثار ضخمة على بقية الرياضيات. إنها تشكل الأساس للعديد من الأفكار الرياضية الأخرى - ولكن لا أحد يعرف ما إذا كانت صحيحة. أصبحت صلاحيتها واحدة من أشهر الأسئلة المفتوحة في الرياضيات. إنها واحدة من سبع "مشاكل الألفية" التي تم طرحها في عام 2000 ، مع الوعد بأن من يحلها سوف يفوز بمليون دولار. (تم حل مشكلة واحدة فقط منذ ذلك الحين.)
من اين اتت هذه الفكرة؟
في عام 1859 ، اقترح عالم رياضيات ألماني يدعى برنهارد ريمان إجابة لمعادلة رياضية شائكة بشكل خاص. تقول فرضيته على هذا النحو: الجزء الحقيقي من كل صفر غير تافه من دالة Riemann zeta هو 1/2. هذه عبارة رياضية مجردة إلى حد ما ، لها علاقة بالأرقام التي يمكنك وضعها في دالة رياضية معينة لجعل هذه الوظيفة مساوية للصفر. ولكن اتضح أن الأمر يهم كثيرًا ، والأهم من ذلك فيما يتعلق بالأسئلة حول عدد المرات التي ستواجه فيها الأعداد الأولية أثناء العد التنازلي.
سنعود إلى تفاصيل الفرضية لاحقًا. لكن الشيء المهم الذي يجب معرفته الآن هو أنه إذا كانت فرضية ريمان صحيحة ، فإنها تجيب على الكثير من الأسئلة في الرياضيات.
"في كثير من الأحيان في نظرية الأعداد ، ما ينتهي به الأمر هو إذا افترضت فرضية ريمان ، فأنت قادر على إثبات جميع أنواع النتائج الأخرى ،" لولا طومسون ، منظّر الأعداد في كلية أوبرلين في أوهايو ، والذي لم يكن متورطًا قال في هذا البحث الأخير.
غالبًا ما أخبرت Live Science أن منظري الأرقام سيثبتون أولاً أن شيئًا ما صحيح إذا كانت فرضية ريمان صحيحة. ثم سيستخدمون هذا البرهان كنقطة انطلاق نحو دليل أكثر تعقيدًا ، مما يدل على أن استنتاجهم الأصلي صحيح سواء كانت فرضية ريمان صحيحة أم لا.
وقالت إن حقيقة أن هذه الخدعة تعمل ، تقنع العديد من علماء الرياضيات أن فرضية ريمان يجب أن تكون صحيحة.
لكن الحقيقة هي أنه لا أحد يعرف على وجه اليقين.
خطوة صغيرة نحو الدليل؟
فكيف يبدو أن هذا الفريق الصغير من علماء الرياضيات يقربنا من الحل؟
قال كين أونو ، أحد منظري الأعداد في جامعة إيموري والمؤلف المشارك للدليل الجديد: "ما قمنا به في ورقتنا ، هو إعادة النظر في معيار فني للغاية يعادل فرضية ريمان ... وأثبتنا أنها كبيرة جزء منه. لقد أثبتنا وجود جزء كبير من هذا المعيار ".
يشير "المعيار المعادل لفرضية ريمان" ، في هذه الحالة ، إلى بيان منفصل مكافئ رياضيًا لفرضية ريمان.
ليس من الواضح للوهلة الأولى سبب ارتباط العبارتين. (يتعلق المعيار بشيء يسمى "فرط الزيادات في كثيرات حدود جنسن.") ولكن في عشرينيات القرن الماضي ، أثبت عالم رياضيات مجري اسمه جورج بوليا أنه إذا كان هذا المعيار صحيحًا ، فإن فرضية ريمان صحيحة - والعكس صحيح. إنه طريق قديم مقترح لإثبات الفرضية ، لكنه طريق تم التخلي عنه إلى حد كبير.
أثبت أونو وزملاؤه ، في ورقة نشرت في 21 مايو في مجلة Proceedings of the Natural Academy of Science (PNAS) ، أن المعيار صحيح في كثير من الحالات.
لكن في الرياضيات ، الكثير لا يكفي لحسابه كدليل. لا تزال هناك بعض الحالات التي لا يعرفون فيها ما إذا كان المعيار صحيحًا أم خطأ.
قال أونو: "الأمر أشبه بلعب كرة باور مليون مليون". "وأنت تعرف كل الأرقام ما عدا العشرين الأخيرة. حتى إذا كان واحدًا من آخر 20 رقمًا خاطئًا ، فستخسر. ... يمكن أن تنهار جميعًا."
سيحتاج الباحثون إلى التوصل إلى دليل أكثر تقدمًا لإظهار أن المعيار صحيح في جميع الحالات ، وبالتالي إثبات فرضية ريمان. وقال أونو إنه ليس من الواضح إلى أي مدى يبعد هذا الدليل.
لذا ، ما مدى أهمية هذه الورقة؟
فيما يتعلق بفرضية ريمان ، من الصعب تحديد مدى ضخامة هذه الصفقة. يعتمد الكثير على ما سيحدث بعد ذلك.
قال طومسون: "هذه مجرد واحدة من العديد من الصيغ المتكافئة لفرضية ريمان".
وبعبارة أخرى ، هناك الكثير من الأفكار الأخرى التي ، مثل هذا المعيار ، ستثبت أن فرضية ريمان صحيحة إذا تم إثباتها هي نفسها.
"لذا ، من الصعب حقًا معرفة مدى التقدم الذي تم إحرازه ، لأنه من ناحية أحرز تقدمًا في هذا الاتجاه. ولكن ، هناك العديد من الصيغ المعادلة التي ربما لن يؤدي هذا الاتجاه إلى فرضية ريمان. ربما أحد وبدلاً من ذلك ، فإن النظريات الأخرى المعادلة ستفعل ذلك ، إذا استطاع شخص إثبات أحدها ".
إذا ظهر الدليل على هذا المسار ، فمن المحتمل أن يعني ذلك أن أونو وزملائه قد طوروا إطارًا أساسيًا مهمًا لحل فرضية ريمان. ولكن إذا ظهرت في مكان آخر ، فإن هذه الورقة ستصبح أقل أهمية.
ومع ذلك ، أعجب علماء الرياضيات.
كتب إنكريكو بومبيري ، أحد منظري أرقام برينستون الذي لم يشارك في أبحاث الفريق ، في مقالة مصاحبة له في 23 مايو ، "على الرغم من أن هذا لا يزال بعيدًا عن إثبات فرضية ريمان ، إلا أنها خطوة كبيرة إلى الأمام". "ليس هناك شك في أن هذه الورقة ستلهم المزيد من العمل الأساسي في مجالات أخرى من نظرية الأعداد وكذلك في الفيزياء الرياضية."
(فاز بومبيري بميدالية فيلدز - الجائزة المرموقة في الرياضيات - في عام 1974 ، إلى حد كبير عن العمل المتعلق بفرضية ريمان.)
ماذا تعني فرضية ريمان على أي حال؟
لقد وعدت أننا سنعود إلى ذلك. ها هي فرضية ريمان مرة أخرى: الجزء الحقيقي من كل صفر غير تافه من وظيفة ريمان زيتا هو 1/2.
دعنا نحلل ذلك وفقًا لكيفية شرحه طومسون وأونو.
أولاً ، ما هي وظيفة Riemann zeta؟
في الرياضيات ، الوظيفة هي علاقة بين كميات رياضية مختلفة. قد يبدو شكل بسيط مثل هذا: y = 2x.
تتبع دالة Riemann zeta نفس المبادئ الأساسية. إلا أنها أكثر تعقيدًا. إليك ما يبدو عليه.
إنه مجموع تسلسل لا نهائي ، حيث يتم إضافة كل مصطلح - أول القليل هو 1/1 ^ s و 1/2 ^ s و 1/3 ^ s - إلى المصطلحات السابقة. هذه القطع الناقص تعني أن السلسلة في الوظيفة تستمر هكذا إلى الأبد.
الآن يمكننا الإجابة على السؤال الثاني: ما هو صفر في دالة Riemann zeta؟
هذا أسهل. "صفر" للدالة هو أي رقم يمكنك إدخاله لـ x ويجعل الدالة مساوية للصفر.
السؤال التالي: ما هو "الجزء الحقيقي" لأحد هذه الأصفار ، وماذا يعني أنه يساوي 1/2؟
تتضمن دالة Riemann zeta ما يسميه علماء الرياضيات "الأعداد المركبة". يبدو الرقم المركب كما يلي: a + b * i.
في هذه المعادلة ، تعني "أ" و "ب" أي أرقام حقيقية. يمكن أن يكون الرقم الحقيقي أي شيء من ناقص 3 ، إلى صفر ، إلى 4.9234 ، بي ، أو مليار. ولكن هناك نوع آخر من الأرقام: أرقام وهمية. تظهر الأرقام التخيلية عندما تأخذ الجذر التربيعي لرقم سالب ، وهي مهمة ، تظهر في جميع أنواع السياقات الرياضية.
إن أبسط رقم وهمي هو الجذر التربيعي لـ -1 ، والذي تتم كتابته كـ "i". العدد المركب هو رقم حقيقي ("أ") بالإضافة إلى رقم حقيقي آخر ("ب") مرات i. "الجزء الحقيقي" من عدد مركب هو "أ".
عدد قليل من الأصفار لدالة Riemann zeta ، أعداد صحيحة سالبة بين -10 و 0 ، لا تحتسب لفرضية Reimann. تعتبر هذه أصفار "تافهة" لأنها أرقام حقيقية وليست أرقامًا معقدة. جميع الأصفار الأخرى هي أرقام "غير تافهة" ومعقدة.
تنص فرضية ريمان على أنه عندما تتجاوز الدالة Riemann zeta الصفر (باستثناء تلك الأصفار بين -10 و 0) ، فإن الجزء الحقيقي من العدد المركب يجب أن يساوي 1/2.
قد لا يبدو هذا الادعاء الصغير مهمًا جدًا. و لكنها. وقد نكون أقرب قليلاً إلى حلها.
